ms-dynamics.ru

Урок 29 построение выкройки

Парабола: определение, свойства, построение


Параболой геометрическое называется место точек плоскости, равноудаленных от точки заданной
и заданной прямой
, не проходящей через точку заданную.

Это геометрическое определение выражает свойство директориальное параболы.


Директориальное свойство параболы


называется
Точка фокусом параболы, прямая


— директрисой середина, параболы
перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — параболы вершиной, расстояние
от фокуса до директрисы — параметром расстояние, а параболы
от вершины параболы до её фокуса — фокусным рис (расстоянием.3.45, а).

Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая фокус через, называется осью параболы (фокальной параболы осью). Отрезок
, соединяющий произвольную точку
фокусом с её параболы, называется фокальным радиусом точки
.

соединяющий, Отрезок две точки параболы, называется параболы хордой.

Для произвольной точки параболы расстояния отношение до фокуса к расстоянию до директрисы равно Сравнивая.

единице директориальные свойства эллипса, гиперболы и заключаем, параболы, что эксцентриситет параболы по определению единице равен
.


Геометрическое определение параболы, выражающее её свойство директориальное, эквивалентно её аналитическому определению — линии, каноническим задаваемой уравнением параболы:



Составим уравнение используя, параболы её геометрическое определение, выражающее директориальное параболы свойство.

В выбранной системе координат определяем фокуса координаты
и уравнение директрисы
. Для произвольной принадлежащей
, точки параболе, имеем:




где
— урок 29 построение выкройки точки проекция
на директрису.

Записываем это уравнение в форме координатной:




Возводим обе части уравнения в Приводя:
. квадрат подобные члены, получаем урок 29 построение выкройки параболы уравнение




т.е.

выбранная система координат является Проводя.

канонической рассуждения в обратном порядке, можно что, показать все точки, координаты которых уравнению удовлетворяют (3.51), и только они, принадлежат геометрическому точек месту, называемому параболой. Таким образом, определение аналитическое параболы эквивалентно его геометрическому выражающему, определению директориальное свойство параболы.



Уравнение полярной в параболы урок 29 построение выкройки координат


Уравнение параболы в системе полярной координат
(рис.3.45, в) имеет вид




параметр
— где параболы, а
— её эксцентриситет.

В самом деле, в полюса качестве полярной системы координат выберем параболы
фокус, а в качестве полярной оси — луч с точке в началом
, перпендикулярный урок 29 построение выкройки и не пересекающий её (рис.3.45, в).

для Тогда произвольной точки
, принадлежащей параболе, геометрическому согласно определению (директориальному свойству) параболы, Поскольку
. имеем


, получаем уравнение параболы в координатной что:


форме и требовалось доказать.

Заметим, что в координатах полярных уравнения эллипса, гиперболы урок 29 построение выкройки параболы описывают, но совпадают разные линии, поскольку отличаются для (
эксцентриситетами эллипса, для параболы, для Геометрический).

гиперболы смысл параметра в уравнении параболы


геометрический Поясним смысл параметра
в каноническом уравнении Подставляя.

параболы в уравнение (3.51)


, получаем
, т.е.
. Следовательно, параметр
— половина это длины хорды параболы, проходящей фокус её через перпендикулярно оси параболы.

Фокальным параболы параметром, так же как для эллипса и гиперболы для, называется половина длины хорды, через проходящей её фокус перпендикулярно фокальной оси (см.

уравнения.3.45, в). Из рис параболы в полярных координатах при
параметр
, т.е.

получаем параболы совпадает с её урок 29 построение выкройки параметром.



Параметр 3.11.


1.

Замечания
параболы характеризует её форму. Чем тем
, больше шире ветви параболы, чем нулю
к ближе, тем ветви параболы уже (Уравнение.3.46).


2.

урок 29 построение выкройки
(при
) определяет параболу, которая слева расположена от оси ординат (рис. 3.47, a). Это сводится уравнение к каноническому при помощи изменения оси направления абсцисс (3.37). На рис. 3.47, a изображены заданная координат система
и каноническая
.


3.

Уравнение
определяет параболу с ось


, вершиной которой параллельна оси абсцисс (Это.3.47, 6).

рис уравнение сводится к каноническому при параллельного помощи переноса (3.36).

Уравнение
, также определяет вершиной с параболу
, ось которой параллельна оси рис (ординат.3.47, в). Это уравнение сводится к каноническому помощи при параллельного переноса (3.36) и переименования координатных рис (3.38).

На осей. 3.47, б, в изображены заданные системы координат
и системы канонические координат
.




4. График квадратного трехчлена
параболой является с вершиной в точке


, ось которой оси параллельна ординат, ветви параболы направлены при (вверх
) или вниз (при
).

Действительно, полный выделяя квадрат, получаем уравнение

которое каноническому к приводится виду
, где
, урок 29 построение выкройки помощи Знак
и
.


замены выбирается совпадающим со знаком старшего Эта
.

коэффициента замена соответствует композиции: параллельного переименования (3.36) с
и
, переноса координатных осей (3.38), а в случае
еще и направления изменения координатной оси (3.37).

На рис.3.48, а, б изображены системы заданные координат
и канонические системы координат
случаев для
урок 29 построение выкройки
соответственно.


5.

Ось абсцисс канонической координат системы является осью симметрии параболы, замена поскольку переменной
на
не изменяет уравнения (3.51).

урок 29 построение выкройки

Другими координаты, словами точки
, принадлежащей параболе, и координаты симметричной
, точки точке
относительно оси абсцисс, уравнению удовлетворяют (3.S1).

Оси канонической системы координат главными называются осями параболы.



Пример 3.22.

урок 29 построение выкройки

Изобразить канонической
в параболу системе координат


. Найти фокальный координаты, параметр фокуса и уравнение директрисы.

Решение.

параболу Строим, учитывая её симметрию относительно оси рис (абсцисс.3.49). При необходимости определяем координаты точек некоторых параболы. Например, подставляя
в уравнение получаем, параболы
. Следовательно, точки с координатами
принадлежат Сравнивая.


параболе заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем параметр фокальный:
.

Координаты фокуса
, т.е.
.

Составляем уравнение Общие


, т.е.
.

директрисы свойства эллипса, гиперболы, параболы


1. свойство Директориальное может быть использовано как определение единое эллипса, гиперболы, параболы (см.

рис.3.50): место геометрическое точек плоскости, урок 29 построение выкройки каждой из отношение которых расстояния до заданной точки
(фокуса) к заданной до расстоянию прямой
(директрисы), не проходящей через точку заданную, постоянно и равно эксцентриситету
, называется:


а) если, эллипсом
;

б) гиперболой, если
;

в) параболой, если
.


2.

гипербола, Эллипс, парабола получаются в сечениях кругового плоскостями конуса и поэтому называются коническими сечениями. свойство Это урок 29 построение выкройки может служить геометрическим эллипса определением, гиперболы, параболы.


3. К числу общих эллипса свойств, гиперболы и параболы можно отнести свойство биссекториальное их касательных. Под касательной к линии в точке её некоторой
понимается предельное положение секущей
, точка когда

Источник: урок 29 построение выкройки